Argumen

Untuk mempelajari tentang argumen, mari kita amati dan pahami sekumpulan proposisi di bawah ini.

1.a) Jika seseorang pergi ke luar negeri maka ia harus mempunyai passport.

   b) Eri pergi ke luar negeri.

   c) Eri mempunyai passport.

Pada sekumpulan proposisi 1, proposisi c) ditegaskan dari proposisi a) dan b). Oleh karena itu, sekumpulan proposisi 1 disebut argumen. Sedangkan proposisi c) disebut konklusi dari argumen dan proposisi a) dan b) disebut premis dari argumen.

Argumen tersebut dapat dinyatakan secara spesifik sebagai berikut.

premis 1 : p⇒q

premis 2 : p

konklusi : q

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa argumen (dalil) adalah sekumpulan proposisi sedemikian hingga salah satu dari proposisinya ditegaskan atas dasar proposisi lainnya. Proposisi yang ditegaskan tersebut disebut konklusi, sedang yang menegaskan disebut premis.

Predikat untuk suatu argumen bukan benar atau salah tetapi sah atau tidak sah. Benar atau salah adalah predikat untuk proposisi.

Suatu argumen dikatakna  sah jika argumen tersebut dinyatakan dalam suatu implikasi sedemikian sehingga premis-premisnya merupakan anteseden, konklusinya merupakan konsekuen, dan implikasi tersebut merupakan implikasi logis (merupakan tautologi).

Contoh:

Disediakan argumen sebagai berikut [(p⇒q) ∧ p] ⇒q

Selidiki apakah argumen di atas sah atau tidak!

Penyelesaian:

Untuk pembuktian tersebut dapat dilakukan dalam dua cara yaitu:

Dengan tabel kebenaran dan dengan aturan penggantian

Cara 1:

[(p	⇒	q)]	∧	p]	⇒	q
T T F F	T F T T	T F T F	T F F F	T T F F	T T T T	T F T F
1	2	1	3	1	4	1

Cara 2:

[(p⇒q) ∧ p] ⇒q

ek ~[(~p∨q) ∧ p] ∨ q               (Imp)

ek [(p∧~q)  ∨ ~p] ∨ q               (DM)

ek [(p∨~p) ∧ (~q∨~p)] ∨ q      (Dist)

ek [T ∧ (~q∧~p)] ∨ q               (Komp)

ek (~q∨~p) ∨ q                        (Id)

ek (~q∨q) ∨ ~p                        (Ass)

ek T ∨ ~p                                 (Komp)

ek T                                          (Id)

Kesimpulan:

Argumen [(p⇒q) ∧ p] ⇒q adalah argumen yang sah.

Pembuktian Kesahan Argumen

Secara garis besar, pembuktian kesahan argumen dapat dilakukan dalam dua cara, yaitu dengan bukti langsung dan dengan bukti tidak langsung.

Bukti langsung

Modus ponens dan silogisme merupakan contoh bukti langsung.

Contoh:

Buktikan bahwa untuk semua bilangan bulat ganjil n maka n² bilangan bulat ganjil.

Bukti:

Misalkan, p : n bilangan bulat ganjil

                  q : n² billangan bulat ganjil

Karena n ganjil (p), maka dapat ditulis n = 2a + 1 dengan a bilangan bulat, diperoleh:

n² = (2a + 1)²

     = (4a² + 4a) + 1

     = 2(2a² + 2a) + 1

n² = bilangan ganjil (terbukti)

Selain itu, juga terdapat induksi matematik (pembuktian dari hal khusus ke hal umum) yang merupakan bukti langsung. Induksii matematika berkenaan dengan pernyataan-pernyataan yang mencakup bilangan asli. Pernyataan P(n) berlaku untuk semua bilangan asli n akan dibuktikan kebenarannya dengan prinsip induksi matematika berikut ini.

(i) Tunjukkan kebenaran P(1) untuk n = 1 (langkah dasar)

(ii) Anggap untuk n = k, P(k) benar (langkah induksi)

(iii) Berdasarkan P(k) benar, harus ditunjukkan bahwa P(k + 1) benar (kesimpulan)

Bukti tidak langsung

Metode pembuktian tidak langsung sering disebut sebagai reductio ad absordum, sering digunakan dalam pembuktian bidang studi geometri. Pembuktian tidak langsung dikenal dalam dua macam, yaitu bukti tidak langsung dengan kontraposisi dan bukti tidak langsung dengan kontradiksi.

Bukti tidak langsung dengan kontraposisi

Bukti tidak langsung dengan kontraposisi dapat dilakukan sebagai berikut. Misalkan kita harus membuktikan p⇒q. Anggap ~q benar, lalu kita turunkan ~p benar. Jadi, ~q⇒~p juga benar. Karena p⇒q ≡ ~q⇒~p, maka p⇒q benar. Jadi, pembuktian telah selesai, karena p⇒q benar.

Bukti tidak langsung dengan kontradiksi

Bukti tidak langsung dengan kontradiksi dilakukan dengan mengandaikan bahwa yang harus dibuktikan salah. Melalui langkah logis diturunkan suatu kontradiksi (sesuatu yang dianggap benar dan salah sekaligus). Karena kontradiksitidak boleh terjadi, maka pengandaian harus diingkarkan, sehingga benarlah apa yang harus dibuktikan.

Contoh:

Buktikan bahwa untuk setiap bilangan bulat n, jika n² bilangan ganjil maka n bilangan ganjil.

Penyelesaian:

Misalkan, p : n² bilangan bulat ganjil

                  q : n bilangan bulat ganjil

Harus dibuktikan: p⇒q bernilai benar

Bukti:

Andaikan, q salah maka ~q benar

                  ~q : n bilangan bulat genap

Misalkan n = 2k dengan k bilangan bulat, diperoleh:

n² = (2k)²

     = 4k²

n² = bilangan bulat genap (~p)

Terjadilah suatu kontradiksi karena diketahui p benar, sedangkan langkah-langkah logis telah diturunkan sehingga diperoleh ~p benar. Hal ini tidak boleh terjadi, maka pengandaian harus diingkarkan. Itu berarti ~q salah atau q benar. Pembuktian telah terjadi kebenarannya, yaitu jika n² bilangan ganjil maka n bilangan ganjil, untuk setiap bilangan bulat n (terbukti).