Senin, 05 Desember 2011

Teorema Phytagoras (COPAS)

Pembuktian Teorema (COPAS)

A ⊂ B ⇔ A ∩ B = A

Bukti:
(⇒) DITUNUKKAN DARI RUAS KIRI KE RUAS KANAN!
Dipunyai A ⊂ B.
Karena A ⊂ B maka ∀x∈A berlaku x∈B.
Maka berlaku x∈A ⇒ x∈B.
Karena A ⊂ B maka berlaku Bc ⊂ Ac.
Ditunjukkan A ∩ B = A.

(i) Ditunjukkan A ⊂ (A ∩ B).

Ambil sembarang x ∈ A.
Jelas berlaku x ∈ A
⇔ x ∈ A ∧ x ∈ A (menurut hukum idempoten)
⇔ x ∈ A ∧ x ∈ B (menurut definisi A ⊂ B)
⇔ x ∈ (A ∩ B) (menurut definisi irisan)
Diperoleh x ∈ A berlaku x ∈ (A ∩ B).
Karena x adalah sembarang anggota A, maka berlaku ∀x∈A maka x∈ (A ∩ B).
Jadi A ⊂ (A ∩ B).

(ii) Ditunjukkan (A ∩ B) ⊂ A.

Jelas Ac ⊂ (Ac ∪ Bc)
⇔ Ac ⊂ (A ∩ B)c
⇔ (A ∩ B) ⊂ A (menurut sifat komplemen)
Dari (i) dan (ii) diperoleh fakta bahwa (A ∩ B) = A jika A ⊂ B.
Jadi (⇒) berlaku.

(⇐) DITUNJUKKAN DARI RUAS KANAN KE RUAS KIRI!
Dipunyai (A ∩ B) = A. Ditunjukkan A ⊂ B.
Akan ditunjukkan melalui kontraposisinya yang benar, yaitu A ⊄ B ⇒ A ∩ B ≠ A.
Cukup ditunjukkan bahwa (A∩B) ⊄ A atau A ⊄ (A∩B).
Jelas bahwa (A∩B) ⊂ A. Jadi ditunjukkan A ⊄ (A∩B).
Dipunyai A ⊄ B.
Artinya ∃x1∈A namun x1∉B.
Jelas x1∉ (A∩B).
Jadi ∃x1∈A namun x1∉A∩B.
Jadi A⊄ (A∩B).
Jadi jika A ⊄ B maka A ∩ B
A.
Artinya jika A∩B = A maka A⊂B.

Dari penjelasan diatas dapat disimpulkan bahwa A⊂B ⇔ A∩B = A.

Senin, 14 November 2011

SET OPERATIONS

We know define basic methods of constructing new sets from given ones.
Definition
(a) If A and B are sets, then their intersection, denote by A∩B, is the set of all elements that belong to both A and B. In other words, we have
A∩B={x : x∈A and x∈B}
(b) The union of A and B, denoted by A∪B, is the set of all elements that belong to either A or B. In other words, we have
A∪B={x : x∈A or x∈B}
In connection with the union of two sets, it is important to be aware of the fact that the word "or" is being used in the inclusive sense. To say x belongs to A or B allows the possibility that x belongs to both sets. In legal terminology this inclusive sense is sometimes indicated by "and/or"
Definition
the set that has no elements is called the empty or the void set and will be denoted by the symbol ∅. If A and B one sets with no elements (that is, if A∩B=∅), then we say that A and B are disjoint or that thay are nonintersecting.
Theorem
Let A, B, C be any sets then
(a) A∩A=A, A∪A=A,
(b) A∩B=B∩A, A∪B=B∪A,
(c) (A∩B)∩C=A∩(B∩C),
      (A∪B)∪C=A∪(B∪C),
(d) A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C),
      A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)


Buktikan A∩A=A
Untuk membuktikan A∩A=A diperlukan langkah sbb.
(i) Ditunjukkan A∩A⊆A
(ii) Ditunjukkan A⊆A∩A
Penyelesaian:
(i) Ditunjukkan A∩A⊆A
     Ambil sembarang x∈A∩A akan ditunjukkan x∈A
     Jelas  x∈A∩A

SET

If A denotes as a set and if x is an element, we shall write.
x∈A
as an abbreviation for the statement that x is an element of A, or that x is a member of A, or that x belongs to A, or that the set A contains the element x, or that x is in A. If x is an element that does not belong to A, we shall write.
x∉A
If A and B are sets such that x∈A implies that x∈B (that is every element of A is also an element of B), then we shall say that A is contained in B, or that B contains A, or that A is a subset of B, and we shall write.
A⊆B or B⊇A
Definition, two sets A and B are equal if they contain the same element. If the sets A and B are equal, we write A=B

Examples:
(a) The set {x∈N : x2‒3x+2=0}
consists of those natural numbers satisfying the stated equation since the only solutions of the quadratic equation x2‒3x+2=0 are x=1 and x=2, instead of writing the above expression we ordinarily denoted this set by {1,2}, thereby l;isting the elements of the set.
(b) Sometimes of formula can be used to abbreviate the description of a set. For example, the set of all even natural numbers could be denoted by {2x : x∈N}, instead of the more cumbersome {y∈N : y=2x, x∈N}
(c) The set {x∈N : 6<x<9} can be written explicitly as {7,8}, thereby exhibiting the elements of the set. Of course, there are many other possible description of this set, for example:
{x∈N : 40<x2<80}
{x∈N : x2‒15x+56=0}
{7+x : x=0 or x=1}

Senin, 17 Oktober 2011

Exercise 2


Tentukan invers, konvers, dan kontraposisi dari proposisi berikut ini:
1. Jika hasil produksi melimpah maka harganya turun.
    invers            : Jika hasil produksi sedikit maka harganya naik.
    konvers         : Jika harga turun maka hasil produksi melimpah.
    kontraposisi  : Jika harga naik maka hasil produksi sedikit.
2. Jika lapangan pekerjaan tidak banyak maka pengangguran meningkat.
    invers            : Jika lapangan pekerjaan banyak maka pengangguran menurun.
    konvers         : Jika pengangguran meningkat maka lapangan pekerjaan tidak banyak.
    kontraposisi  : Jika pengangguran menurun maka lapangan pekerjaan banyak.
3. Jika ABCD bujur sangkar maka ABCD segi empat.
    invers            : Jika ABCD bukan bujur sangkar maka ABCD bukan segi empat.
    konvers         : Jika ABCD segi empat maka ABCD bujur sangkar.
    kontraposisi  : Jika ABCD bukan segi empat maka ABCD bukan bujur sangkar.
4. Jika x > 10 maka x2 > 100
    invers            : Jika x ≤ 10 maka x2 ≤ 100
    konvers         : Jika x2 > 100 maka x > 10
    kontraposisi  : Jika x2 ≤ 100 maka x ≤ 10
5. Jika x2 – 16 = 0 , maka x = 4 atau x = – 4.
    invers            : Jika x2 – 16 ≠ 0, maka x ≠ 4 dan x ≠ – 4.
    konvers         : Jika x = 4 atau x = – 4, maka x2 – 16 = 0.
    kontraposisi  : Jika x ≠ 4 dan x ≠ – 4, maka x2 – 16 ≠ 0.
6. Jika sin x = 90o – cos x, maka x merupakan sudut lancip.
    invers            : Jika sin x ≠ 90o – cos x, maka x bukan sudut lancip.
    konvers         : Jika x merupakan sudut lancip, maka sin x = 90o – cos x.
    kontraposisi  : Jika x bukan sudut lancip, maka sin x ≠ 90o – cos x.
7. Jika tan x = –1, maka x = 135o dan x = 315o
    invers            : Jika tan x ≠ – 1, maka x ≠ 135o atau x ≠ 315o
    konvers         : Jika x = 135o dan x = 315o, maka tan x = –1
    kontraposisi  : Jika x ≠ 135o atau x ≠ 315o, maka tan x ≠ – 1

Exercise 1

Tentukan invers, konvers, dan kontraposisi dari proposisi berikut ini:
1. (p q) r
    invers            : ~(p q) ~r ek (~p ~q) ~r
    konvers         : r (p q)
    kontraposisi  : ~r ~(p q) ek ~r (~p ~q)
2. p (q r)
    invers            : ~p ~(q r) ek ~p (~q ~r)
    konvers         : (q r) p
    kontraposisi  : ~(q r) ~p ek (~q ~r) ~p
3. ~p (q ~r)
    invers            : ~(~p) ~(q ~r) ek p (~q r)
    konvers         : (q ~r) ~p
    kontraposisi  : ~(q ~r) ~(~p) ek (~q r) p
4. (p ~q) (q r)
    invers            : ~(p ~q) ~(q r) ek (~p q) (~q ~r)
    konvers         : (q r) (p ~q)  
    kontraposisi  : ~(q r) ~(p ~q) ek (~q ~r) (~p q) 
 5. (~q ~r) (~p q)
    invers            : ~(~q ~r) ~(~p q) ek (q r) (p ~q)
    konvers         : (~p q) (~q ~r)
    kontraposisi  : ~(~p q) ~(~q ~r) ek (p ~q) (q r)
 6. (q ~r) (p r)
    invers            : ~(q ~r) ~(p r) ek (~q r) (~p ~r)
    konvers         : (p r) (q ~r)
    kontraposisi  : ~(p r) ~(q ~r) ek (~p ~r) (~q r)

Senin, 03 Oktober 2011

Pengambilan Putusan

Pengambilan putusan atau penarikan kesimpulan adalah suatu penegasan bahwa dari beberapa pernyataan benar yang diketahui (disebut premis), melalui langkah-langkah logis dapat diturunkan suatu pernyataan yang benar (disebut kesimpulan atau konklusi). Suatu pengambilan putusan dikatakan sah atau berlaku jika dan hanya jika konjungsi dari premis-premisnya berimplikasi konklusi, yaitu apabila semua premisnya benar (keadaan tautologi) maka konklusinya juga benar. Sebaliknya, jika konjungsi dari premis-premis itu tidak menghasilkan konklusi maka pengambilan putusan itu tidak sah atau tidak berlaku (keadaan kontradiksi). Tautologi merupakan pernyataan yang selalu benar dan kontradiksi merupakan pernyataan yang selalu salah.
Pengambilan putusan yang sah dikenal ada tiga bagian, yaitu:
Modus Ponens (Kaidah Pengasingan)
Modus Ponens adalah suatu pengambilan putusan yang bentuknya dapat dinyatakan sebagai berikut.

Aturan Penggantian dan Aturan Penyimpulan

Aturan Penggantian
Setiap proposisi yang saling ekivalen dapat dipertukarkan atau diganti antara satu dengan yang lainnya. Di bawah ini disajikan daftar aturan penggantian untuk keperluan deduksi.
1. Hukum Idempoten (Idem)
    a. pq ek p
    b. pp ek p
2. Hukum Asosiatif (As)
    a. (pq)r ek p(qr)
    b. (pq)r ek p(qr)
3. Hukum  Komutatif (Kom)
    a. pq ek qp
    b. pq ek qp

Aljabar Proposisi

Hukum-Hukum Aljabar Proposisi (Aturan Penggantian)
Setiap proposisi yang saling ekivalen dapat dipertukarkan atau diganti antara satu dengan yang lainnya. Di bawah ini disajikan daftar aturan penggantian untuk keperluan deduksi.
1. Hukum Idempoten (Idem)
    a. pq ek p
    b. pp ek p
2. Hukum Asosiatif (As)
    a. (pq)r ek p(qr)
    b. (pq)r ek p(qr)
3. Hukum  Komutatif (Kom)

Argumen

Untuk mempelajari tentang argumen, mari kita amati dan pahami sekumpulan proposisi di bawah ini.
1.a) Jika seseorang pergi ke luar negeri maka ia harus mempunyai passport.
   b) Eri pergi ke luar negeri.
   c) Eri mempunyai passport.
Pada sekumpulan proposisi 1, proposisi c) ditegaskan dari proposisi a) dan b). Oleh karena itu, sekumpulan proposisi 1 disebut argumen. Sedangkan proposisi c) disebut konklusi dari argumen dan proposisi a) dan b) disebut premis dari argumen.
Argumen tersebut dapat dinyatakan secara spesifik sebagai berikut.

Konvers, Invers, dan Kontraposisi

Dari pernyataan pq dapat disusun pernyataan-pernyataan implikasi baru yang berbentuk:
a. qp disebut konvers,
b. ~p~q disebut invers,
c. ~q~p disebut kontraposisi.
Ekuivalensi
Beberapa bentuk pernyataan majemuk mempunyai nilai kebenaran yang sama (ekuivalen), di antaranya:
a. pq ≡ ~pq
            ≡ q~p

Logika Predikat dan Kuantor

Logika Predikat
Predikat adalah proposisi dengan variabel.
Contoh:
P(x, y) x + 2 = y
Catatan:
Simbol menyatakan ekivalen
P(x, y) [x + 2 = y]
Diberikan:
x = 1, y = 3. Maka P(1, 3) benar
x = 1, y = 4. Maka P(1, 4) salah
                              ~P(1, 4) benar

Kuantor
Suatu kalimat terbuka p(x) dapat diubah menjadi suatu pernyataan, yaitu dengan mengganti variabel dari suatu kalimat dengan suatu nilai tertentu (konstanta). Cara lain untuk mengubah suatu kalimat terbuka menjadi suatu pernyataan adalah dengan menggunakan kuantor. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut ini.

Operasi Logika

Operasi logika ada 5 macam, yaitu:

i) Ingkaran/Negasi
    Untuk memudahkan kita dalam operasi antar pernyataan, maka pernyataan-pernyataan tersebut biasanya dilambangkan dengan huruf kecil, misalnya p, q, r, ....
    Jika p suatu pernyataan maka ingkaran (negasi, penangkalan) dari p yaitu tidak p atau bukan p ditulis dengan notasi "~p".
Contoh:

Proposisi Komposit

Proposisi komposit adalah proposisi yang memuat perangkai.
Ada 5 perangkai, yaitu:
, , , , dan ~.
Proposisi
Dibaca
Disebut
pq
p dan q
Konjungsi
pq
p atau q
Disjungsi
pq
jika p maka q
Implikasi
pq
p jika dan hanya jikaq
Biimplikasi
~p
ingkaran p
Negasi

Nilai kebenaran proposisi komposit
p
q
pq
p∨q
pq
pq
~p
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
F
F
T
T
T
F
T
F
T
T
T
F
F
T
F
F
T
T
Contoh
Diketahui proposisi elementer:
p : Jumlah semua sudut suatu segitiga sembarang adalah 180o
q : Tidak ada segitiga sama kaki yang tumpul
r : Segitiga siku-siku selalu memenuhi dalil phytagoras