Logika Predikat dan Kuantor

Logika Predikat

Predikat adalah proposisi dengan variabel.

Contoh:

P(x, y) ≡ x + 2 = y

Catatan:

Simbol ≡ menyatakan ekivalen

P(x, y) ≡ [x + 2 = y]

Diberikan:

x = 1, y = 3. Maka P(1, 3) benar

x = 1, y = 4. Maka P(1, 4) salah

                              ~P(1, 4) benar

Kuantor

Suatu kalimat terbuka p(x) dapat diubah menjadi suatu pernyataan, yaitu dengan mengganti variabel dari suatu kalimat dengan suatu nilai tertentu (konstanta). Cara lain untuk mengubah suatu kalimat terbuka menjadi suatu pernyataan adalah dengan menggunakan kuantor. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut ini.

(i) x + 3 = 5, dalam hal ini HP = {2}

(ii) x² – 3x + 2 = 0, dalam hal ini HP = {1, 2}

Pada kalimat terbuka x + 3 = 5, apabila x diganti dengan konstanta, yaitu:

     x diganti dengan 10 menjadi 10 + 3 = 5 (didapat pernyataan S)

     x diganti dengan 2 menjadi 2 + 3 = 5 (didapat pernyataan B)

Proses penggantian dengan konstanta ini disebut dengan proses instantiasi.

Bagaimana halnya jika di depan kalimat terbuka x + 3 = 5, kita cantumkan kata-kata yang menyatakan jumlah (kuantor) seperti "ada" atau "semua" sebagai berikut:

     Untuk semua nilai x berlaku x + 3 = 5 (didapat pernyataan S)

     Ada nilai x yang memenuhi x + 3 = 5 (didapat pernyataan B)

Proses ini disebut proses kuantifikasi.

Pernyataan pertama yang mengandung kata semua disebut pernyataan berkuantor universal (umum) dan kata semua disebut kuantor universal. Pernyataan kedua yang mengandung kata ada disebut pernyataan berkuantor eksistensial (khusus) dan kata ada disebut kuantor eksistensial.

a) Kuantor universal (∀)

    Misalkan p(x) adalah kalimat terbuka yang didefinisikan pada himpunan semesta S, maka pernytaaan:

    "Untuk setiap x di dalam S, maka p(x) benar. "

Disebut pernyataan kuantor universal dan kata untuk setiap dalam pernytaan di atas disebut kuantor universal.

    Kata-kata yang sering muncul/dipakai dalam pernyataan kuantor universal adalah semua dan untuk setiap. Simbol matematis untuk kedua kata tersebut adalah "∀".

    Dalam aljabar, pernyataan kuantor universal ini dapat digunakan untuk mengubah kalimat terbuka menjadi kalimat tertutup (pernyataan). Misalkan p(x) adalah sebuah kalimat terbuka, maka untuk menyatakan himpunan penyelesaian dari p(x) pada himpunan semesta S dapat ditulis sebagai berikut:

    ∀x, p(x) dibaca "semua x bersifat p(x)".

    ∀ x ∈ S, p(x) dibaca "semua x anggota S bersifat p(x)".

Nilai kebenaran dari pernyataan berkuantor ∀x, p(x) bergantung pada himpunan semesta yang ditinjau dan kalimat terbuka p(x).

Contoh:

1) Apabila p(x): x + 4 > 3 dengan himpunan semesta Z (himpunan bilangan asli), maka pernyataan: ∀ x ∈ Z; x + 4 > 3 adalah suatu pernyataan yang bernilai benar, karena HP = {1, 2, 3, 4, ...} = Z

2) Apabila q(x): x + 1 > 8 dengan himpunan semesta Z (himpunan bilangan asli), maka pernyataan: ∀ x ∈ Z; x + 1 > 8 adalah suatu pernyataan yang bernilai salah, karena untuk x = 1, 1 + 1 < 8. HP = {8, 9, 10, ...} ≠ Z

Dari contoh di atas, dapat disimpulkan bahwa:

Apabila {x | x ∈ Z, p(x)} = Z maka ∀ x ∈ Z, p(x) adalah benar.

Apabila {x | x ∈ Z, p(x)} ≠ Z maka ∀ x ∈ Z, p(x) adalah salah.

b) Kuantor eksistensial (∃)

    Misalkan p(x) adalah suatu kalimat terbuka yang didefinisikan pada himpunan semesta S, maka pernyataan: "ada x di dalam S sedemikian sehingga p(x) benar" disebut pernyataan eksistensial (khusus) dan kata ada dalam pernyataan di atas disebut kuantor eksistensial.

    Kata-kata yang sering muncul/dipakai dalam pernyataan eksistensial adalah ada, beberapa, dan paling sedikit satu. Simbol matematis untuk ketiga kata tersebut sama yaitu "∃".

    ∃ x ∈ Z, p(x) dibaca "ada nilai x anggota Z sedemikian sehingga p(x) menjadi pernyataan benar" atau secara singkat dapat dikatakan "terdapat x yang bersifat p(x)". Bentuk ∃ x ∈ Z, p(x) dapat pula ditulis sebagai ∃x, p(x) bergantung pada himpunan semesta yang ditinjau dan kalimat terbuka p(x).

Contoh:

1) Apabila ∃ n ∈ Z, n + 4 < 7, dengan Z = himpunan bilangan asli adalah pernyataan benar, karena: {n | n + 4 < 7} = {1, 2}

2) Apabila ∃ n ∈ Z, n + 6 < 4, dengan Z = himpunan bilangan asli adalah pernyataan salah, karena: {n | n + 4 < 7} = {  }

Dari contoh di atas, dapat disimpulkan bahwa:

Apabila {x | p(x)} ≠ {  } maka ∃x, p(x) adalah benar.

Apabila {x | p(x)} = {  } maka ∃x, p(x) adalah salah.

Ingkaran pernyataan berkuantor

~(∀x, p(x)) ≡ ∃x, ~p(x)

~(∃x, p(x)) ≡ ∀x, ~p(x)

Latihan Soal:

a. Diketahui pernyataan p = "Semua orang akan meninggal dunia". Tentukan ingkaran dari p!

b. Tentukan negasi dari ∀x, cos²x + sin²x = 1!

c. Pernyataan q = "Ada planet yang mempunyai kehidupan", tentukan negasinya!

d. Tentukan ingkaran dari pernyataan berikut ∃ x ∈ R, x² + 1 < 0!