Senin, 05 Desember 2011

Teorema Phytagoras (COPAS)

Pembuktian Teorema (COPAS)

A ⊂ B ⇔ A ∩ B = A

Bukti:
(⇒) DITUNUKKAN DARI RUAS KIRI KE RUAS KANAN!
Dipunyai A ⊂ B.
Karena A ⊂ B maka ∀x∈A berlaku x∈B.
Maka berlaku x∈A ⇒ x∈B.
Karena A ⊂ B maka berlaku Bc ⊂ Ac.
Ditunjukkan A ∩ B = A.

(i) Ditunjukkan A ⊂ (A ∩ B).

Ambil sembarang x ∈ A.
Jelas berlaku x ∈ A
⇔ x ∈ A ∧ x ∈ A (menurut hukum idempoten)
⇔ x ∈ A ∧ x ∈ B (menurut definisi A ⊂ B)
⇔ x ∈ (A ∩ B) (menurut definisi irisan)
Diperoleh x ∈ A berlaku x ∈ (A ∩ B).
Karena x adalah sembarang anggota A, maka berlaku ∀x∈A maka x∈ (A ∩ B).
Jadi A ⊂ (A ∩ B).

(ii) Ditunjukkan (A ∩ B) ⊂ A.

Jelas Ac ⊂ (Ac ∪ Bc)
⇔ Ac ⊂ (A ∩ B)c
⇔ (A ∩ B) ⊂ A (menurut sifat komplemen)
Dari (i) dan (ii) diperoleh fakta bahwa (A ∩ B) = A jika A ⊂ B.
Jadi (⇒) berlaku.

(⇐) DITUNJUKKAN DARI RUAS KANAN KE RUAS KIRI!
Dipunyai (A ∩ B) = A. Ditunjukkan A ⊂ B.
Akan ditunjukkan melalui kontraposisinya yang benar, yaitu A ⊄ B ⇒ A ∩ B ≠ A.
Cukup ditunjukkan bahwa (A∩B) ⊄ A atau A ⊄ (A∩B).
Jelas bahwa (A∩B) ⊂ A. Jadi ditunjukkan A ⊄ (A∩B).
Dipunyai A ⊄ B.
Artinya ∃x1∈A namun x1∉B.
Jelas x1∉ (A∩B).
Jadi ∃x1∈A namun x1∉A∩B.
Jadi A⊄ (A∩B).
Jadi jika A ⊄ B maka A ∩ B
A.
Artinya jika A∩B = A maka A⊂B.

Dari penjelasan diatas dapat disimpulkan bahwa A⊂B ⇔ A∩B = A.