Operasi logika ada 5 macam, yaitu:
i) Ingkaran/Negasi
Untuk memudahkan kita dalam operasi antar pernyataan, maka pernyataan-pernyataan tersebut biasanya dilambangkan dengan huruf kecil, misalnya p, q, r, ....
Jika p suatu pernyataan maka ingkaran (negasi, penangkalan) dari p yaitu tidak p atau bukan p ditulis dengan notasi "~p".
1) Misalkan p: Amir lapar, maka ingkarannya:
~p: Amir tidak lapar
Karena ~p merupakan ingkaran dari p, sehingga jika p bernilai benar maka haruslah ~p bernilai salah dan jika p bernilai salah maka haruslah ~p bernilai benar. jadi tidak mungkin p dan ~p dua-duanya bernilai salah atau benar secara bersamaan.
Dengan demikian didapat tabel kebenaran operasi ingkaran seperti terlihat di bawah ini.
Tabel
p | ~p |
B | S |
S | B |
ii) Konjungsi
Dari dua buah pernyataan p dan q dapat dibentuk suatu pernyataan majemuk dalam bentuk "p dan q" yang disebut dengan konjungsi. pernyataan p dan q dilambangkan dengan "p∧q".
Contoh:
p : Roni nakal
q : Roni suka berbohong
p∧q : Roni nakal dan suka berbohong
p | q | p∧q |
B | B | B |
B | S | S |
S | B | S |
S | S | S |
Sifat-sifat kojungsi
1. p∧q ≡ q∧p
2. (p∧q) ∧ r ≡ p ∧ (q∧r)
3. p∧~p ≡ S
4. p∧S ≡ S
5. p∧B ≡ p
Latihan Soal
Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut!
1) Jakarta di Asia dan Berlin di Eropa.
2) 3+7=10 dan 10 bukan bilangan ganjil.
3) 15<31–16 dan 15 bukan bilangan ganjil.
iii) Disjungsi
Dari dua buah pernyataan p dan q dapat dibentuk suatu pernyataan majemuk dalam bentuk "p atau q", yang disebut dengan disjungsi dari pernyataan-pernyataan p dan q dan dilambangkan dengan "p∨q".
Contoh:
p : Eric belajar bahasa Jerman di universitas.
q : Eric tinggal di Jerman.
p∨q : Eric belajar bahasa Jerman di universitas atau ia tinggal di Jerman.
Pernyataan majemuk "p atau q" dikatakan salah jika p dan q dua-duanya salah, dalam hal lainnya dikatakan benar. Dengan demikian didapat tabel kebenaran opersi disjungsi seperti terlihat di bawah ini.
p | q | p∨q |
B | B | B |
B | S | B |
S | B | B |
S | S | S |
Macam-macam disjungsi
1. Disjungsi ekslusif yaitu disjungsi yang hanya berlaku satu keadaan.
Contoh: Saya berambut pendek atau saya berambut panjang.
2. Disjungsi inklusif yaitu disjungsi yang dapat berlaku pada dua keadaan sekaligus.
Contoh: Saya naik motor atau saya naik kapal.
Sifat-sifat disjungsi
1. Disjungsi ekslusif yaitu disjungsi yang hanya berlaku satu keadaan.
Contoh: Saya berambut pendek atau saya berambut panjang.
2. Disjungsi inklusif yaitu disjungsi yang dapat berlaku pada dua keadaan sekaligus.
Contoh: Saya naik motor atau saya naik kapal.
Sifat-sifat disjungsi
1. p∨q ≡ q∨p
2. (p∨q) ∨ r ≡ p ∨ (q∨r)
3. p∨~p ≡ B
4. p∨B ≡ B
5. p∨S ≡ p
Latihan Soal
Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut!
1) Jakarta di Asia dan Berlin di Eropa.
2) 3+7=10 dan 10 bukan bilangan ganjil.
3) 15<31–16 dan 15 bukan bilangan ganjil.
* Hubungan konjungsi dan disjungsi
(1) Hukum De Morgan
Konjungsi dan disjungsi saling berhubungan, hubungan antara keduanya merupakan saling negasi dan oleh De Morgan dituliskan dalam hukum de Morgan berikut ini.
a. ~(p∧q) ≡ ~p∨~q
b. ~(p∨q) ≡ ~p∧~q
Berdasarkan hukum di atas, terlihat bahwa negasi dari kojungsi adalah disjungsi dari negasi komponen-komponennya, dan sebaliknya.
(2) Hukum distributif
Hubungan konjungsi dan disjungsi sering dijumpai dalam hukum distributif berikut ini.
Untuk setiap pernyataan p, q, dan r selalu berlaku:
a. p ∧ (q∨r) ≡ (p∧q) ∨ (q∧r)
b. p ∨ (q∧r) ≡ (p∨q) ∧ (q∨r)
iv) Implikasi
Berbagai pernyataan, khususnya di dalam matematika sering berbentuk "jika p maka q". Pernyataan yang mempunyai bentuk seperti itu dikenal sebagai implikasi atau pernyataan bersyarat dan dilambangkan dengan "p⇒q".
Dalam suatu implikasi p⇒q dikenal dua hal, yaitu:
(i) Pernyataan p sering disebut alasan atau sebab (hipotesis, anteseden).
(ii) Pernyataan q sering disebut kesimpulan atau akibat (konklusi, konsekuensi).
Pernyataan "p⇒q" bernilai salah jika p benar dan q salah, dalam hal lainnya dikatakan benar. dengan demikian didapat tabel kebenaran operasi implikasi seperti terlihat di bawah ini.
p | q | p⇒q |
B | B | B |
B | S | S |
S | B | B |
S | S | B |
*Ekuivalensi implikasi dan disjungsi
a. p⇒q ≡ ~p∨q
b. p∨q ≡ ~p⇒q
Latihan Soal
Ubahlah ke bentuk disjungsi yang ekuivalen!
1) Jika Anton sakit maka ia tidak masuk sekolah.
2) Jika 0 bukan bilangan asli maka 17 adalah bilangan prima.
v) Biimplikasi
Dari dua buah pernyataan p dan q dapat dibentuk suatu pernyataan majemuk dalam bentuk "p jika dan hanya jika q" yang disebut dengan biimplikasi daei pernyataan-pernyataan p dan q dan dilambangkan dengan "p⇔q". Biimplikasi biasa disebut dengan bikondisional atau ekuivalensi.
Pernyataan "p⇔q" bernilai benar jika p dan q bernilai sama, dalam hal lainnya dikatakan salah. dengan demikian didapat tabel kebenaran operasi biimplikasi seperti terlihat di bawah ini.
p | q | p⇔q |
B | B | B |
B | S | S |
S | B | S |
S | S | B |
*Ekuivalensi biimplikasi dapat dituliskan seperti berikut ini.
a. p⇔q ≡ (p⇒q) ∧ (q⇒p)
b. p⇔q ≡ (~p∨q) ∧ (~q∨p)
Latihan Soal
Jika p adalah "Ia rajin belajar" dan q adalah "Ia lulus ujian" maka tulislah dengan kata-kata yang sederhana untuk setiap pernyataan berikut ini.
a. ~p⇔q
b. p⇔~q
c. p⇔q
d. ~p⇔~q
vi) Ekivalensi
vi) Ekivalensi
Perhatikanlah proposisi komposit p⇒q dan ~p∨q. Selidikilah apakah kedua proposisi tersebut bernilai sama?
Penyelesaian:
p | Q | ~p | p⇒q | ~p∨q |
T T F F | T F T F | F F T T | T F T T | T F T T |
Ternyata p⇒q dan ~p∨q mempunyai nilai kebenaran yang sama, maka dikatakan bahwa p⇒q ekivalen ~p∨q, ditulis p⇒q ek ~p∨q.
Misalkan P dan Q masing-masing proposisi komposit, maka P dikatakan ekivalen Q ditulis P ek Q jika P dan Q mempunyai nilai kebenaran yang sama.
Latihan Soal
Selidiki apakah
a. p⇒q ek ~q⇒~p
b. p∨p ek p
c. p∨~p ek T
d. p∧~p ek F
Tidak ada komentar:
Posting Komentar