Exercise 2

Tentukan invers, konvers, dan kontraposisi dari proposisi berikut ini:

1. Jika hasil produksi melimpah maka harganya turun.

    invers            : Jika hasil produksi sedikit maka harganya naik.

    konvers         : Jika harga turun maka hasil produksi melimpah.

    kontraposisi  : Jika harga naik maka hasil produksi sedikit.

2. Jika lapangan pekerjaan tidak banyak maka pengangguran meningkat.

    invers            : Jika lapangan pekerjaan banyak maka pengangguran menurun.

    konvers         : Jika pengangguran meningkat maka lapangan pekerjaan tidak banyak.

    kontraposisi  : Jika pengangguran menurun maka lapangan pekerjaan banyak.

3. Jika ABCD bujur sangkar maka ABCD segi empat.

    invers            : Jika ABCD bukan bujur sangkar maka ABCD bukan segi empat.

    konvers         : Jika ABCD segi empat maka ABCD bujur sangkar.

    kontraposisi  : Jika ABCD bukan segi empat maka ABCD bukan bujur sangkar.

4. Jika x > 10 maka x² > 100

    invers            : Jika x ≤ 10 maka x² ≤ 100

    konvers         : Jika x² > 100 maka x > 10

    kontraposisi  : Jika x² ≤ 100 maka x ≤ 10

5. Jika x² – 16 = 0 , maka x = 4 atau x = – 4.

    invers            : Jika x² – 16 ≠ 0, maka x ≠ 4 dan x ≠ – 4.

    konvers         : Jika x = 4 atau x = – 4, maka x² – 16 = 0.

    kontraposisi  : Jika x ≠ 4 dan x ≠ – 4, maka x² – 16 ≠ 0.

6. Jika sin x = 90^o – cos x, maka x merupakan sudut lancip.

    invers            : Jika sin x ≠ 90^o – cos x, maka x bukan sudut lancip.

    konvers         : Jika x merupakan sudut lancip, maka sin x = 90^o – cos x.

    kontraposisi  : Jika x bukan sudut lancip, maka sin x ≠ 90^o – cos x.

7. Jika tan x = –1, maka x = 135^o dan x = 315^o

    invers            : Jika tan x ≠ – 1, maka x ≠ 135^o atau x ≠ 315^o

    konvers         : Jika x = 135^o dan x = 315^o, maka tan x = –1

    kontraposisi  : Jika x ≠ 135^o atau x ≠ 315^o, maka tan x ≠ – 1

Exercise 1

Tentukan invers, konvers, dan kontraposisi dari proposisi berikut ini:

1. (p ∧ q) ⇒ r

    invers            : ~(p ∧ q) ⇒ ~r ek (~p ∨ ~q) ⇒ ~r

    konvers         : r ⇒ (p ∧ q)

    kontraposisi  : ~r ⇒ ~(p ∧ q) ek ~r ⇒ (~p ∨ ~q)

2. p ⇒ (q ∧ r)

    invers            : ~p ⇒ ~(q ∧ r) ek ~p ⇒ (~q ∨ ~r)

    konvers         : (q ∧ r) ⇒ p

    kontraposisi  : ~(q ∧ r) ⇒ ~p ek (~q ∨ ~r) ⇒ ~p

3. ~p ⇒ (q ∧ ~r)

    invers            : ~(~p) ⇒ ~(q ∧ ~r) ek p ⇒ (~q ∨ r)

    konvers         : (q ∧ ~r) ⇒ ~p

    kontraposisi  : ~(q ∧ ~r) ⇒ ~(~p) ek (~q ∨ r) ⇒ p

4. (p ∨ ~q) ⇒ (q ∧ r)

    invers            : ~(p ∨ ~q) ⇒ ~(q ∧ r) ek (~p ∧ q) ⇒ (~q ∨ ~r)

    konvers         : (q ∧ r) ⇒ (p ∨ ~q)  

    kontraposisi  : ~(q ∧ r) ⇒ ~(p ∨ ~q) ek (~q ∨ ~r) (~p ∧ q) 

 5. (~q ∧ ~r) ⇒ (~p ∨ q)

    invers            : ~(~q ∧ ~r) ⇒ ~(~p ∨ q) ek (q ∨ r) ⇒ (p ∧ ~q)

    konvers         : (~p ∨ q) ⇒ (~q ∧ ~r)

    kontraposisi  : ~(~p ∨ q) ⇒ ~(~q ∧ ~r) ek (p ∧ ~q) ⇒ (q ∨ r)

 6. (q ∨ ~r) ⇒ (p ∧ r)

    invers            : ~(q ∨ ~r) ⇒ ~(p ∧ r) ek (~q ∧ r) ⇒ (~p ∨ ~r)

    konvers         : (p ∧ r) ⇒ (q ∨ ~r)

    kontraposisi  : ~(p ∧ r) ⇒ ~(q ∨ ~r) ek (~p ∨ ~r) ⇒ (~q ∧ r)

Pengambilan Putusan

Pengambilan putusan atau penarikan kesimpulan adalah suatu penegasan bahwa dari beberapa pernyataan benar yang diketahui (disebut premis), melalui langkah-langkah logis dapat diturunkan suatu pernyataan yang benar (disebut kesimpulan atau konklusi). Suatu pengambilan putusan dikatakan sah atau berlaku jika dan hanya jika konjungsi dari premis-premisnya berimplikasi konklusi, yaitu apabila semua premisnya benar (keadaan tautologi) maka konklusinya juga benar. Sebaliknya, jika konjungsi dari premis-premis itu tidak menghasilkan konklusi maka pengambilan putusan itu tidak sah atau tidak berlaku (keadaan kontradiksi). Tautologi merupakan pernyataan yang selalu benar dan kontradiksi merupakan pernyataan yang selalu salah.

Pengambilan putusan yang sah dikenal ada tiga bagian, yaitu:

Modus Ponens (Kaidah Pengasingan)

Modus Ponens adalah suatu pengambilan putusan yang bentuknya dapat dinyatakan sebagai berikut.

Aturan Penggantian dan Aturan Penyimpulan

Aturan Penggantian

Setiap proposisi yang saling ekivalen dapat dipertukarkan atau diganti antara satu dengan yang lainnya. Di bawah ini disajikan daftar aturan penggantian untuk keperluan deduksi.

1. Hukum Idempoten (Idem)

    a. p∨q ek p

    b. p∧p ek p

2. Hukum Asosiatif (As)

    a. (p∨q)∨r ek p∨(q∨r)

    b. (p∧q)∧r ek p∧(q∧r)

3. Hukum  Komutatif (Kom)

    a. p∨q ek q∨p

    b. p∧q ek q∧p

Aljabar Proposisi

Hukum-Hukum Aljabar Proposisi (Aturan Penggantian)

Setiap proposisi yang saling ekivalen dapat dipertukarkan atau diganti antara satu dengan yang lainnya. Di bawah ini disajikan daftar aturan penggantian untuk keperluan deduksi.

1. Hukum Idempoten (Idem)

    a. p∨q ek p

    b. p∧p ek p

2. Hukum Asosiatif (As)

    a. (p∨q)∨r ek p∨(q∨r)

    b. (p∧q)∧r ek p∧(q∧r)

3. Hukum  Komutatif (Kom)

Argumen

Untuk mempelajari tentang argumen, mari kita amati dan pahami sekumpulan proposisi di bawah ini.

1.a) Jika seseorang pergi ke luar negeri maka ia harus mempunyai passport.

   b) Eri pergi ke luar negeri.

   c) Eri mempunyai passport.

Pada sekumpulan proposisi 1, proposisi c) ditegaskan dari proposisi a) dan b). Oleh karena itu, sekumpulan proposisi 1 disebut argumen. Sedangkan proposisi c) disebut konklusi dari argumen dan proposisi a) dan b) disebut premis dari argumen.

Argumen tersebut dapat dinyatakan secara spesifik sebagai berikut.

Konvers, Invers, dan Kontraposisi

Dari pernyataan p⇒q dapat disusun pernyataan-pernyataan implikasi baru yang berbentuk:

a. q⇒p disebut konvers,

b. ~p⇒~q disebut invers,

c. ~q⇒~p disebut kontraposisi.

Ekuivalensi

Beberapa bentuk pernyataan majemuk mempunyai nilai kebenaran yang sama (ekuivalen), di antaranya:

a. p⇒q ≡ ~p∨q

            ≡ q∨~p

Logika Predikat dan Kuantor

Logika Predikat

Predikat adalah proposisi dengan variabel.

Contoh:

P(x, y) ≡ x + 2 = y

Catatan:

Simbol ≡ menyatakan ekivalen

P(x, y) ≡ [x + 2 = y]

Diberikan:

x = 1, y = 3. Maka P(1, 3) benar

x = 1, y = 4. Maka P(1, 4) salah

                              ~P(1, 4) benar

Kuantor

Suatu kalimat terbuka p(x) dapat diubah menjadi suatu pernyataan, yaitu dengan mengganti variabel dari suatu kalimat dengan suatu nilai tertentu (konstanta). Cara lain untuk mengubah suatu kalimat terbuka menjadi suatu pernyataan adalah dengan menggunakan kuantor. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut ini.

Operasi Logika

Operasi logika ada 5 macam, yaitu:

i) Ingkaran/Negasi

    Untuk memudahkan kita dalam operasi antar pernyataan, maka pernyataan-pernyataan tersebut biasanya dilambangkan dengan huruf kecil, misalnya p, q, r, ....

    Jika p suatu pernyataan maka ingkaran (negasi, penangkalan) dari p yaitu tidak p atau bukan p ditulis dengan notasi "~p".

Contoh:

Proposisi Komposit

Proposisi komposit adalah proposisi yang memuat perangkai.

Ada 5 perangkai, yaitu:

∧, ∨, ⇒, ⇔, dan ~.

Proposisi	Dibaca	Disebut
p∧q	p dan q	Konjungsi
p∨q	p atau q	Disjungsi
p⇒q	jika p maka q	Implikasi
p⇔q	p jika dan hanya jikaq	Biimplikasi
~p	ingkaran p	Negasi

Nilai kebenaran proposisi komposit

p	q	p∧q	p∨q	p⇒q	p⇔q	~p
T T F F	T F T F	T F F F	T T T F	T F T T	T F F T	F F T T

Contoh

Diketahui proposisi elementer:

p : Jumlah semua sudut suatu segitiga sembarang adalah 180^o

q : Tidak ada segitiga sama kaki yang tumpul

r : Segitiga siku-siku selalu memenuhi dalil phytagoras